线性代数基础与二维变换

Thu, 09 Jan 2025 21:14:00 +0800

图形学线性代数基础

本篇内容均取自https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744

本篇为 1 - 3 集笔记

向量的点积

如何求出单位向量 => 向量 / 向量的长度 = 单位向量
在不给出说明的情况下，向量的默认的表示形式其实是竖着的
$$ \vec{A} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} A^T = (x,y) $$$$ T是上标转置了 $$
向量的长度 = sqr(x² + y²)
向量点乘得到的是一个数
$$ \vec{a} · \vec{b} = \vec{||a||} ·\vec{||b||}· cos0 $$
取得两个向量的夹角 a 的单位向量 × b的

$$ \cos{\theta} = \hat{a}·\hat{b} $$

$$ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \, ||\vec{b}||} $$

$$ ||\vec{a}|| = 向量的长度$$

$$ ||\vec{a}|| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

向量的点成就是两个数相乘然后加起来

$$ \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \end{pmatrix} = x_ax_b + y_ay_b$$

闲话

向量b对于向量a的垂直是向量b(popu 垂直)

向量b(popu)的方向是向量a对应的方向

向量b(popu) = k * 向量a的单位向量

向量b(popu)的长度 = b的长度 * a与b的夹角余弦

k= ||向量b(popu)|| = ||向量b|| cos0

向量a和b的点积就是夹角余弦

如果向量同向那么两个向量点乘会得到大于0的值
如果向量不同向那么两个向量的点乘会得到小于0的值
点乘也会可以告诉我们两个向量有多接近，越接近1就越近，1 - 0 是垂直 0 - -1相反

向量的叉积

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) $$$$ || \mathbf{a} \times \mathbf{b} || = || \mathbf{a} || \cdot || \mathbf{b} || \cdot \sin(\theta) $$
叉乘不满足交换律，a x b 结果与 b x a相反，新向量与 a b 垂直

如果x 叉乘 y 得到 z 那就说他是右手坐标系

一个向量叉乘自己 = 0 长度为0的向量
用于判断左和右，上和下
向量a 叉乘 b 得到的结果z轴是正的，那么说明b在a的左侧

判断某点是否在三角形内部（光栅化基础）
AB叉乘AP 得到左侧

BC叉乘 BP得到 P点在BC的左侧

CA叉乘CP 得到 P点在CA的左侧

如果是顺时针那么就在右侧，得到0自己决定
标准正坐标系
$$ || \mathbf{u} || = || \mathbf{v} || = || \mathbf{w} || = 1 $$$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = 0 $$

$$ \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \quad (\text{右手坐标系}) $$$$ 投影公式： \mathbf{p} = (\mathbf{p} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{u} + (\mathbf{p} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{v} + (\mathbf{p} \cdot \mathbf{w}) \mathbf{w} $$

矩阵

乘以一个数就是将矩阵内的每个数都乘以这个数
(M x N)(N x P) = (M x P) 只有 N N相等才有意义
第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数

如下面，上面的矩阵乘以下面的矩阵等于第三个矩阵

比如结果的第二行四列，我们找到第一个矩阵的第二行，第二个矩阵的第四列然后乘起来相加

(5,2) * (4,3) = (20,6) = 26

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 09 & ? & 33 & 13 \\ 19 & 44 & 61 & 26 \\ 08 & 28 & 32 & ? \end{pmatrix} $$

//第一个 ? 是第一行第二列 找到 第一行 1 3 第二列  6 7
//(1,3)*(6,7) = 6 + 21 = 27

//第二个 ? 是第三行第四列 找到 第三行 0 4 第四列  4 3
//(0,4)*(4,3) = 0 + 12 = 12

矩阵的乘积不满足任何交换率，但满足结合律和分配律
$$ (\mathbf{AB})\mathbf{C} = \mathbf{A}(\mathbf{BC}) $$$$ \mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{AB} + \mathbf{AC} $$$$ (\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{AC} + \mathbf{BC} $$
矩阵与向量相乘，向量是竖着的列向量m×1，这样就有意义了，左边的矩阵只要是 (n,m)就能乘
转置
(ij -> ji) 对角线为分割线，然后两边值位置互换，对角线下去只有两列，最终结果就是两行
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} $$$$ 乘积的转置\\ (\mathbf{AB})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T $$
单位矩阵他是一个对角阵
$$ 单位矩阵\\ \mathbf{I}_{3\times3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$$$ AA^{-1} = A^{-1} = I\\\\ 矩阵的逆:\\ (AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1} $$
点乘向量的矩阵形式
$$ \begin{pmatrix} x_a & y_a & z_a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b\\ y_b\\ z_b \end{pmatrix}= (x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} + z_{a}z_{b} ) $$
向量的叉积矩阵形式
$$ 叉积矩阵形式 A^{*}是矩阵\\ a \times b = A^{*}b = \begin{pmatrix} 0 && -z_{a} && y_{a}\\ z_{a} &&0 && -x_{a}\\ -y_{a} && x_{a} && 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{b}\\ y_{b}\\ z_{b} \end{pmatrix} $$

图形学变换

缩放矩阵 图像大小缩放s倍 xy的s单独设置可以单独缩放
$$ 左矩阵\\ \begin{pmatrix} s & 0\\ 0 & s \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} s & 0\\ 0 & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} $$
反转(x,y) => (-x,y)
$$ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} => \begin{pmatrix} -x\\ y \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} $$
切变
$$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & a\\0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$
旋转(2维)

共性x'=Mx
要使用相同维度的矩阵乘以向量
$$ x' = a_x + b_y\\ y' = c_x + d_y $$$$ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} ✖ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} $$

其次坐标

平移变换

$$ x'=x+t_x\\ x'=y+t_y $$

平移使用矩阵的形式表示，不属于线性变换
线性变换必须表示为一个向量等于一个矩阵乘以另一个向量

$$ {平移的矩阵表示} abcd是单位矩阵10,01\\ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x\\ t_y \end{pmatrix} $$

为了不将平移排除在基础变换之外，“懒”的科学家们发明了新的东西，引入了新的形式来表示物体的坐标，为二维的坐标增加一个维度

如果是表示一个点，那么为1，如果为了表示一个向量那么值为0

$$ 2D Point = (x,y,1)^T\\ 2D Vector= (x,y,0)^T $$

增加了一个维度后会发现有了更好的性质

引入其次坐标最大的目的就是为了通过增加一个维度的方式，将平移变换也写成矩阵x向量的形式

$$ xy1是二维的一个点\\ \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ w' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}· \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x + t_x\\ y + t_y\\ 1 \end{pmatrix} $$

向量表示方向性，向量具有平移不变性，为了保护向量，所以将向量的z设置为0，保证他不变

$$ 公式一 : \\ vector + vector = vector\\ (x_1,y_1,0) + (x_2,y_2,0)=(x_1+x_2,y_1+y_2,0)\\ $$$$ 公式二 : \\ point - point = vector \\ (x_1,y_1,1)-(x_2,y_2,1) = (x_1-x_2,y_1-y_2,0)\\ $$$$ 公式三 : \\ point - vector = point\\ (x_1,y_1,1)-(x_2,y_2,0) = (x_1-x_2,y_1-y_2,1)\\ $$$$ 公式四 : \\ point + point = ??\\ (x_1,y_1,1)+(x_2,y_2,1) = (x_1-x_2,y_1-y_2,2)\\ $$

在齐次坐标中，任何的 x / y / w 作为一个二维的点，表示的点是 x除以w,y除以w , 1

$$ \begin{pmatrix} x\\ y\\ w \end{pmatrix}is~the~2D~point~ \begin{pmatrix} x/w\\ y/w\\ 1 \end{pmatrix}, w ≠ 0 $$

在w不等于0的情况下，可以把xyw都除以w，第三个维度就1了，表示的就是一个点了

xyw表示的一个点就是 x/w, y/w (二维的点)

在上面的公式中

$$ point + point = ?? $$

如果把z变为1呢，这边的w是2，因为上面算过了

$$ point + point = 这两个点的中点\\ \begin{pmatrix} ((x_1+x_2)/w)\\ ((y_1+y_2)/w)\\ w/w \end{pmatrix} $$

仿射变换

仿射变换就行线性变换和平移变换的组合

$$ \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}· \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x\\ t_y\\ \end{pmatrix} $$

如果使用其次坐标表示2维的仿射变换

最后一行永远是0，0，1

平移永远写在最后一列的头两位数

abcd是原来线性变换的一部分

$$ 仿射变换的齐次坐标形式\\ \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & t_x\\ c & d & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}· \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix} $$

线性变换的其次坐标形式

缩放

$$ S(s_x,s_y) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

旋转

$$ R(\alpha) = \begin{pmatrix} cos~\alpha & -sin~\alpha & 0\\ sin~\alpha & cos~\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

平移
因为没有进行线性变换所以是 10 01

$$ T(t_x,t_y)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

变换的分解

连续变换的应用是从右往左的

逆变换

逆变换就是将变换的操作反过来

一个矩阵乘以他自己的逆矩阵一定等于单位矩阵做了一遍操作，再做一遍反的操作，就相当于什么都没做

3维变换

与二维基本一致，先应用线性变换再平移

$$ \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c & t_x\\ d & e & f & t_y\\ g & h & i & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}· \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix} $$

图形学 on 南亭

线性代数基础与二维变换

图形学线性代数基础

向量的点积

向量的叉积

用于判断左和右，上和下

判断某点是否在三角形内部（光栅化基础）

标准正坐标系

矩阵

乘以一个数就是将矩阵内的每个数都乘以这个数

`(M x N)(N x P) = (M x P)` 只有 N N相等才有意义

矩阵的乘积不满足任何交换率，但满足结合律和分配律

矩阵与向量相乘，向量是竖着的`列向量m×1`，这样就有意义了，左边的矩阵只要是 (n,m)就能乘

转置

单位矩阵他是一个对角阵

点乘向量的矩阵形式

向量的叉积矩阵形式

图形学变换

缩放矩阵 `图像大小缩放s倍 xy的s单独设置可以单独缩放`

反转`(x,y) => (-x,y)`

切变

旋转(2维)

共性`x'=Mx`

其次坐标

平移使用矩阵的形式表示，不属于线性变换

线性变换必须表示为一个向量等于一个矩阵乘以另一个向量

仿射变换

仿射变换就行线性变换和平移变换的组合

线性变换的其次坐标形式

缩放

旋转

平移

变换的分解

连续变换的应用是从右往左的

逆变换

3维变换

与二维基本一致，先应用线性变换再平移

图形学 on 南亭

线性代数基础与二维变换

图形学 线性代数基础

向量的点积

向量的叉积

用于判断左和右，上和下

判断某点是否在三角形内部（光栅化基础）

标准正坐标系

矩阵

乘以一个数就是将矩阵内的每个数都乘以这个数

(M x N)(N x P) = (M x P) 只有 N N相等才有意义

矩阵的乘积不满足任何交换率，但满足结合律和分配律

矩阵与向量相乘，向量是竖着的列向量m×1，这样就有意义了，左边的矩阵只要是 (n,m)就能乘

转置

单位矩阵 他是一个对角阵

点乘向量的矩阵形式

向量的叉积矩阵形式

图形学 变换

缩放矩阵 图像大小缩放s倍 xy的s单独设置可以单独缩放

反转(x,y) => (-x,y)

切变

旋转(2维)

共性x'=Mx

其次坐标

平移使用矩阵的形式表示，不属于线性变换

线性变换必须表示为 一个向量等于一个矩阵乘以另一个向量

仿射变换

仿射变换就行线性变换和平移变换的组合

线性变换的其次坐标形式

缩放

旋转

平移

变换的分解

连续变换的应用是从右往左的

逆变换

3维变换

与二维基本一致，先应用线性变换再平移

图形学线性代数基础

`(M x N)(N x P) = (M x P)` 只有 N N相等才有意义

矩阵与向量相乘，向量是竖着的`列向量m×1`，这样就有意义了，左边的矩阵只要是 (n,m)就能乘

单位矩阵他是一个对角阵

图形学变换

缩放矩阵 `图像大小缩放s倍 xy的s单独设置可以单独缩放`

反转`(x,y) => (-x,y)`

共性`x'=Mx`

线性变换必须表示为一个向量等于一个矩阵乘以另一个向量